На сервере два сетевых интерфейса, один "смотрит" в internet, второй в локальую сеть (192.168.0.0/24).

Если:

access_log syslog:server=internet_site.ru:514,facility=local7,tag=nginx,severity=info mainlog;

Где internet_site.ru это адрес где-то в интернете, то логи шлются нормально.

Если:
access_log syslog:server=192.168.0.10:514,facility=local7,tag=nginx,severity=info mainlog;

То лог nginx не отсылает (проверяю tcpdump 'port 514').

Проверено на:

Debian GNU/Linux 9 (stretch)
nginx/1.14.2

и

Gentoo/Linux
nginx/1.11.8

С отключеными фаерволами.