Решил.
auth_basic_user_file /etc/nginx/htpass;
Задаёт файл, в котором хранятся имена и пароли пользователей. Формат файла следующий:
# комментарий
имя1:пароль1
имя2:пароль2:комментарий
имя3:пароль3
http://nginx.org/ru/docs/http/ngx_http_auth_basic_module.html

proxy_set_header X-User $remote_user;
Позволяет переопределять или добавлять поля заголовка запроса, передаваемые проксируемому серверу.

server {
listen 80;
server_name site.com;
access_log /var/log/nginx/access_site.log;
error_log /var/log/nginx/error_site.log;

location / {
proxy_set_header X-Real-IP $remote_addr;
proxy_set_header X-Forwarded-For $proxy_add_x_forwarded_for;
proxy_set_header Host $http_host;
proxy_pass http://127.0.0.1:8080/;
proxy_redirect off;
auth_basic "Private service";
auth_basic_user_file /etc/nginx/htpass;
proxy_set_header X-User $remote_user;
}
}