Если в файле конфигурации:

set $domain_name "domain";

access_log /var/www/vhosts/$domain_name/logs/access_log main;
access_log on;

Файл журнала имеет следующие атрибуты:
-rw-r--r-- nginx nginx access_log

Без использования переменной:
access_log /var/www/vhosts/domain/logs/access_log main;

-rw-r--r-- root root access_log, как и должно быть.

Директива:
error_log /var/www/vhosts/$domain_name/logs/error_log;

пишет в общий журнал ошибок:
[emerg] 8503#0: open() "/var/www/vhosts/$domain_name/logs/error_log" failed (2: No such file or directory)


Кто подскажет, это нормальное поведение сервера или я что-то не так делаю. Хотелось бы использовать переменную, если нет, буду писать руками.

Невнимательно читал. Такое поведение сервера нормальное.

В пути файла можно использовать переменные (0.7.6+), но такие логи имеют некоторые ограничения:
...

http://sysoev.ru/nginx/docs/http/ngx_http_log_module.html