>Но если почистить кэш браузера, то nginx ничего не отдаёт,

поправочка - отдаёт, из кэша(root /var/cache/nginx;), но с Content-Type: text/plain
Поэтому не работает, так как нужно. Нужно как-то изменить Content-Type

Как nginx должен понять, что он отдаёт js и нужно выставить Content-Type: application/javascript; charset=UTF-8 ?