Сделал пару экспериментов, но значительной разницы не заметил. Сейчас:

upload_buffer_size 256k;
client_body_buffer_size 16k;

Установил nginx на другой сервер, сделал аналогичные настройки, все прекрасно работает. Похоже, проблема только на этом сервере и только с HTTP. Вообще запутался, в чем может быть проблема.